从 10 倍到 1000 倍——分散投资的数学原理
Diversification is the holy grail of investment. By Ray Dalio
分散是投资的圣杯。
# 从 10 倍到 1000 倍——分散投资的数学原理
投资，本质上是通过出卖风险获取收益。不同的投资承担或高或低的风险，因而获取对应或高或低的回报。
有人说，我只追求高收益不要高风险可不可以?但风险是投资的那一刻被动选择的，正如股票的波动率基本上高于债券，在你选择这一品种的时候就已经注定了。
在正常情况下，这是一个公平交易。高风险对应高收益，低风险对应低收益。
但分散投资是投资世界中唯一的“免费午餐”，他使得我们可以不付出任何代价，在获得等单位风险的情况下取得更高的收益或等单位收益下更低的风险。
这里我不会和大家分析马科维兹的投资组合理论或威廉夏普的 CAPM 模型。我们会做一个模拟实验，用数学的方法直观证明这一点：
我们先设定一个投资策略，这个策略的期望收益分布为“80%概率赚 10%，20%概率亏 30%”。
通过计算我们可以得知，该策略的期望收益=80%*10%+20%*（-30%）=2%。所以，这是一个正期望的系统，理论上不断的实践可以获得正收益。但他的期望方差为 16.9%，理论信息比为 0.12，是一个很一般的投资策略。
接下来，我们利用 excel 中的 rand（）函数，创建随机序列，去模拟该策略的运行。我们每次实验给出 3 个同样收益分布（80%概率赚 10%，20%概率亏 30%）的策略 1、2、3，并设定他们之间的相关系数=0，对他们进行 735 次实验，会得出什么样的结果？
注：rand（）函数提供的随机数符合 0-1 之间的均匀分布
实验 1：
策略 1 净值如图
你没看错，这个正期望系统在样本不足够大的情况下是有可能亏损的.而且在这个情景下，亏损了 99%
实验 1：
策略 2 净值曲线如图
曾经接近 100 倍，最终只赚了 50%
泛舟 Rain (opens new window) 
(opens new window) - 股海泛舟
实验 1：
策略 3 净值曲线如图
大约也只赚了 50%，这次实验的三个策略的结果综合来看低于合理期望值。
可以看出，虽然这个系统是正期望的，但由于期望值太小，但波动太大，所以实际效果很差。真实情况下，这种投资策略是必须抛弃的。
但如果我们采取每次博弈将资金分为三等分，分别投入这个三个策略呢？
（注意：这个三等分投入的就是之前 3 个看起来并不如人意的策略）
实验结果如下：
大约赚了 1000 倍
结果非常令人震惊，如果每次将资金重新再分配至这 3 个独立的期望收益很糟糕的策略，经过 735 次博弈，结果最后是翻了 1000 倍。
而更令人震惊的是，如果你做多次该实验，无论策略 1、2、3 的走势是非常优秀还是差强人意，三等分的资产配置方法几乎每次都可以提供非常稳定的收益回报曲线（一条几乎笔直斜向上的曲线）
这就是分散的力量，为什么@孔曼子可以在回撤很小的情况下做到很高的年化收益，本质原因也在于此。
如果想要深究，有空的可以阅读马科维兹的投资组合理论。但分散的数学原理就是这样简单与强大。
有人会质疑这里的组合构建是否合理，下面附件是这个实验的原本 excel 文件，分为了实验 1 数值锁定版和公式自由修改版，可供大家自行参考。
https://share.weiyun.com/Ls9DCLcJ
给不高兴打开 excel 的朋友看一下公式构建方式：
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有朋友在讨论其中的方差的期望，多个策略相关系数不等于 0 时的通解如下图
原本这个话题只想浅尝辄止，提示一下背后的原理。但从很多集友的回复来看，似乎还是没有理解我想表达的意思。@johndon0313 基本表达了我的想法，有感于从集思录各位高手处学到很多，我再多谈一些。
针对集友评论的点评：
1.关于资产相关性的波动性：很多资产之间的相关性可以从定价公式来推导。投资的核心在于原则，不需要精确的错误，只要模糊的正确。举个例子，如果股和债长期负相关，短期的正相关就不是由投资模型解决的问题，而是风控模型。
2.关于找不到低相关资产的问题：扩大自己的能力圈，扩大自己的投资范围，不要局限于股票和债券。黄金是资产，商品是资产，美元是资产，人民币现金也是资产。有时候甚至某种策略本身可以形成一种资产（比如要约收购策略，你说这个策略的收益和股市的相关性有多大？）
3.说这是凯利公式的请回去复习凯利公式，两者不是在解决一个问题
4.经网友评论提醒，这个策略的期望收益由于复利不应该采用算数均值方法，应该是几何均值，即((1.1^8)*(0.7^2))^(1/10)-1=0.49%。这里是我的错误，烦请各位包涵，幸好不影响结论
5.我之前没有强调的，但是极为重要的是：策略必须是正期望收益的，分散才有效果。分散不改变期望收益，所以亏损的策略再怎么分散也是亏损的
有一些集友说，这个结论是不是代表应该分散买股票？进而推论出指数基金是最佳的选择，这明显犯了对模型前提没有精确把握的谬误。
首先，A 股票和 B 股票在大部分时间是高度相关的，只有很少部分是其自身的波动。
其次，策略收益必须是正期望的，也就是说你选出来的股票必须战胜指数，如果选出一堆股票都是跑输指数，那么分散毫无意义
第三，如果你把指数本身视为一类资产，股票的收益=指数收益+个股收益。投资指数基金代表无为，如果以指数为基准，代表个股期望收益为 0（你放弃了战胜市场）。
你真正要做的，是找到很多只大概率能跑赢指数的个股，然后分散投资。
@laoliudashu (opens new window) :
主贴这只是统计学的一种理论，与现实大相径庭，实用意义非常有限。实际情况中绝大多数投资者人生经历的投资曲线我觉得大概率是随机曲线的一种，不可能有两三个绝对不相关的随机品种能让你去稳定平衡几百次，你这还是期望为正，哪怕是两个期望为负的随机品种不断的平衡，很多次后也能获得极其高的正收益。实际社会投资逻辑是，大多数时期遵循强者越来越强，未来风险越来越低，弱者越来越弱，未来风险越来越高的这种宏观正反馈，只有很短时间随机突变（黑天鹅）爆发的时候，才会出现乌鸡变凤凰和巨人轰然倒塌。趋势投资体系本质上遵循丛林法则，再用策略躲过黑天鹅（降低黑天鹅损失风险利率和损失值），再加上一定的运气（理论上黑天鹅无法完全规避），长期会获得稳定高效的收益。价值投资体系本质是利用黑天鹅，在发生黑天鹅的品种上采用动态平衡获得超额收益。但是由于世界的脆弱性，黑天鹅的程度无法量度和预测，当黑天鹅击中你投资体系的七寸时，你就会被世界瓦解掉。所以我觉得多策略分散组合才是王道，可以降低被消灭的几率，单策略分散并不会本质上提高收益和降低风险。结论：为了分散而分散没有多大意义，要有类似于美林时钟这种多策略分散才能长期获得稳定超过平均的收益！
您说得很好。
我的理解是“狡兔三窟”，这样一窟被捣，还有其他的收益弥补。
但你必须充分清楚你的三窟都是在地球上，如果小行星撞地球了，不论几个窟都没有用。
所以要站在更高的维度理解收益来源，也许在外星上放几个窟也不错，即使收益没有在地球上高。
我们讨论有关资产的定义， 在我的投资框架中：
1》广义的资产就是通过一定成本获取的一个可以提供现金回报流的资源。
举个例子，一个套利策略是由 100 元折价 1%的 1 个月后到期的折价基金和 100 元融券空头（或股指期货）构成。
基于构建策略的逻辑，这个套利策略可以在一个月稳定获得 1%的收益。那么它本身形成了一个特殊的资产，已经不属于股票资产范畴了。
由此，我们进一步推论：
2》只要回报的收益率分布呈现出不同的结构，那么他们就可以被定义为两个不同的资产。
再进一步推论，股票、债券等资产是离散的两个资产类型。由于我们可以自由组合各类资产对其进行配比。
3》资产的概念就可以由此从一个个离散的概念转化为一个连续函数的概念。
变化的只是收益率的概率分布函数，他的收益结构可以通过多个“离散资产”的线性组合构成，而波动率则由资产的波动率组合公式决定。
再进一步推导，就是马科维兹的投资组合理论了。
刚才发现，在本帖中已经就分散投资的基本原理以及资产定义专门和您做了讨论。
那么其实应该可以联想到的是，在《从 10 倍到 1000 倍系列之二 分散投资在股票基金配置上的实战》中本质上，我们是将基金经理的 alpha 视作了一种资产。
每个人心中都有自己最想配置的资产，比如您认为股票是最优的资产。但配置什么样的资产其实取决于我们投资的目的。
那么我们投资的核心目标是什么？
有人认为是收益最大化，但我认为不是。我认为：投资的核心目标是首先衡量自己所能承受的最大风险，然后在给定风险的前提下最大化收益。
为什么？因为收益和风险之间的性价比不是线性的，是一个凸函数。往往呈现为在风险特别低和特别高的情况下性价比极低（想想货基和期权）。
如果我追求最高的收益，我应该去满仓玩期权，但即使我有一个良好的期权策略，由于
（1）你无法知道自己是否正确（推理是否合理而无漏洞，演绎法的谬误）
（2）过去的正确是否代表未来的正确（过往规律是否建立在一个大环境背景下，而该环境可能变化，归纳法的谬误。比如 2012-2016 年的小市值战法）
当真正发生重大风险的时候，由于上述不确定性，即使有充分证据证明我终将获利，我依然无法在承受极大波动风险的情况坚定持有（可能是我个人的心理障碍，但一般而言，非常坚定的人不是发财就是破产了，我不想要这样的极端）。
所以，我不会持有一个资产。因为持有多个非相关资产，除非遭遇中美大战等极高维度的系统性风险，大部分情况下会给我一个非常舒适的回撤区间。
这就是我要把资产定义泛化的原因。你看的是我持有股票、债券、期货。而我看到的是我配置了：
1》40%的股票 alpha 策略
2》10%股票套利策略
3》10%高收益债策略
4》10%转债套利策略
5》10%股指 CTA 策略
6》20%商品 CTA 策略
所以用收益率分布维度来定义“新资产”并进行多维度“资产”配置，可以帮助我抓住收益波动的本质，从而以最小的波动代价获得高收益
楼主的例子是马科维茨投资组合理论非常简明的模拟，核心思想是保持正期望值，降低总投资的标准方差（即风险）；
根据楼主的例子再简化一下场景：
假设在牛市中，投一个股有 50%概率所有本金亏-50 元，50%概率赢 100 元，那么，只买一只股的期望收益是：（这里都假设所有股的盈利概率都是一样的性质）
单股：
0.5 *（-50） + 0.5 * 100 = -25 + 50 = 25 元
买两只股：
0.25 *（-50） + 0.5*（-25 + 50）+ 0.25 * 100 = -12.5 + 12.5 + 25 = 25 元
买三只股
0.125*（-50） + 0.375 * （-16.66 - 16.66 + 33） + 0.375*（-16.66 + 33 + 33） + 0.125*（100） = 25元
我们发现，买多只股并不会使期望收益增加，但在公式中最左边项的最坏收益-50 元出现的机率逐步降低，在单股的时候为 50%，双股 25%，三股 12.5%，最坏情况在以指数速度下降。也就是说分散投资有效降低最大回撤；
所以说组合投资是取得同样收益，同时大幅降低风险的免费午餐。
至于需要多么分散，这个需要看各类资产风险的协方差，不能一概而论；
个人统计数据得出的投资要素是持有时间、涨跌方向（年化收益率）、波动率（最大回撤）、资金容量、摩擦成本。
分散的目的在于对冲波动减少回撤，如果分散持有正相关系数 0.5 以上品种组合弱化波动减少回撤与回报，如果分散持有负相关系数 0 以下品种组合可以对冲套利。
根据这些要素执行策略：负相关品种组合分散仓位对冲波动（多空对冲套利+折/溢价套利）+正相关品种组合集中仓位止损波动（多空多周期趋势交易）